A.
Kerangka Teoritik
1. Pengertian Konsep Matematika
Menurut kamus umum bahasa
Indonesia pengertian konsep adalah ide atau pengertian yang diabstrakkan dari
peristiwa konkrit.[1]
Menurut kamus matematika pengertian konsep adalah suatu kesan jiwa dari mutu,
sifat-sifat dan lain-lain yang umumnya dimiliki oleh suatu kata, suatu pikiran,
dan sekutu-sekutunya, seperti pengukuran, bangunan, kebenaran dan lain
sebagainya.
Ini berarti bahwa konsep adalah
benda-benda, kejadian-kejadian, situasi atau ciri-ciri yang terwakili oleh
suatu simbol. Konsep matematika adalah suatu ide yang merupakan suatu
generalisasi peristiwa atau pengalaman yang dinyatakan dengan istilah atau
simbol tertentu. Konsep harus mengacu pada objek, benda-benda, ciri dan atribut
yang lengkap dengan sesuatu dari suatu objek.
Oleh karena orang mengalami stimulus-stimulus yang berbeda-beda, maka
mereka membentuk konsep-konsep yang berbeda-beda sesuai dengan pengelompokkan
stimulus-stimulus dengan cara tertentu.
Konsep merupakan
abstraksi-abstraksi yang berdasarkan pada pengalaman dan tidak ada orang yang
mempunyai pengalaman persis sama maka konsep-konsep yang dibentuk mungkin
berbeda pula. Walaupun konsep-konsep berbeda-beda, konsep-konsep itu cukup
serupa untuk berkomunikasi dengan menggunakan nama-nama yang diberikan pada
konsep-konsep itu yang telah diterima bersama. Nama-nama atau kata-kata ini
disebut dengan simbol-simbol. Simbol ini digunakan untuk menyatakan
konsep-konsep. Simbol itu sendiri bukanlah konsepnya. Konsep mempunyai
pengertian yang lebih luas dibandingkan dengan simbol. Menurut Irzani, konsep
adalah ide abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan atau
mengklasifikasikan sekumpulan objek.[2]
Apakah objek tertentu merupakan contoh konsep ataukah bukan. Contohnya, dalam
matematika terdapat konsep yang amat penting khususnya pada pokok bahasan aljabar
yaitu “variabel”, “konstanta”, ” kefisien”.
2. Pengertian Miskonsepsi
Menurut kamus besar bahasa
Indonesia konsepsi adalah pengertian, pendapat (paham) atau rancangan
(cita-cita, dsb) yang telah ada di pikiran.[3]
Jadi konsepsi adalah bayangan tentang sesuatuhal yang telah ada dalam pemikiran
seseorang.
Menurut Sumadji dalam
penelitian Bachtiar, teori yang menyatakan tentang kesalahan konsep
(miskonsepsi) adalah sebagai berikut :
a. Novak (1984), mendefinisikan kesalahan konsep
(miskonsepsi) sebagai suatu interpretasi konsep-konsep di dalam suatu
pernyataan yang tidak dapat diterima.
b. Fowler (1987), kesalahan konsep (miskonsepsi) adalah
pengertian yang tidak akurat akan konsep, penggunaan konsep yang salah
klasifikasi. Contoh-contoh yang salah, kekacauan konsep-konsep yang berada dan
hirarkis konsep-konsep yang tidak benar.
Berdasarkan teori-teori yang
ada, kesalahan konsep (miskonsepsi) menunjukkan pada suatu konsep yang tidak
sesuai dengan pengertian ilmiah atau pengertian yang diterima. Bentuknya dapat berupa
kesalahan, hubungan yang tidak benar antara
konsep-konsep, gagasan intuitif atau pandangan yang naif. Jadi, dapat
disimpulkan bahwa miskonsepsi adalah ide atau pemahaman yang menyimpang dari
pendapat umum atau dengan kata lain salah persepsi.
3. Hakekat Matematika
Kata “matematika”
berasal dari kata màthema dalam
bahasa Yunani yang diartikan sebagai “sains, ilmu pengetahuan, atau belajar”
juga mathemakós yang diartikan
sebagai “suka belajar ilmu matematika telah banyak dikenal orang pada masa pra sejarah.
Matematika tumbuh dan berkembang karena proses berpikir.[4]
Matematika terbentuk dari pengalaman manusia dalam
dunianya secara empiris. Kemudian pengalaman itu diproses di dalam dunia rasio,
diolah secara analisis dengan penalaran di dalam struktur kognitif sehingga
sampai terbentuk konsep-konsep matematika supaya konsep-konsep matematika yang
terbentuk itu mudah dipahami oleh orang lain dan dapat dimanipulasi secara
tepat, maka digunakan bahasa matematika atau notasi matematika yang bernilai
global (universal). Konsep matematika didapat karena proses berpikir, karena
itu logika adalah dasar matematika.
Perlu diketahui, bahwa ilmu
matematika itu berbeda dengan disiplin ilmu yang lain. Matematika memiliki
bahasa sendiri, yakni bahasa yang terdiri dari simbol-simbol dan angka.
Sehingga, jika kita ingin belajar matematika dengan baik, maka langkah yang
harus ditempuh adalah kita harus menguasai bahasa pengantar dalam matematika,
harus berusaha memahami makna-makna dibalik lambang dan simbol tersebut.[5]
Selain sebagai bahasa, matematika juga berfungsi sebagai
alat berpikir. Menurut Wittgenstein, matematika merupakan metode berpikir yang
logis. Berdasarkan pemberiannya, masalah yang dihadapi logika makin lama makin
rumit dan membutuhkan struktur analisis yang lebih sempurna. Dalam perspektif
inilah, logika berkembang menjadi matematika, sebagaimana yang disimpulkan oleh
Bertrand Russell, “matematika adalah masa kedewasaan logika, sedangkan logika
adalah masa kecil matematika”[6].
Hal ini senada dengan pendapat Irzani mengatakan bahwa matematika tumbuh dan
berkembang karena proses berpikir. Oleh karena itu logika merupakan dasar untuk
terbentuknya matematika. Logika adalah bayi matematika, sebaliknya matematika
adalah masa dewasa logika[7].
Pada dasarnya hakekat matematika berkenaan dengan
ide-ide, struktur-struktur dan hubungan-hubungan yang diatur menurut aturan
logis dan matematika juga dengan konsep-konsep yang abstrak. Selanjutnya dikemukakan
bahwa apabila matematika dipandang sebagai struktur dari hubungan-hubungan maka
simbol- simbol formal diperlukan untuk membantu memanipulasi aturan-aturan yang
beroperasi di dalam struktur-struktur. Sedang Soedjadi berpendapat bahwa
simbol-simbol di dalam matematika umumnya masih kosong dari arti sehingga dapat
diberi arti sesuai dengan lingkup semestanya.
Selain itu, matematika memiliki beberapa karakteristik
salah satunya adalah matematika memiliki objek kajian abstrak, objek dasar yang
dipelajari matematika merupakan sesuatu yang abstrak, sering juga disebut objek
mental. Objek-objek itu merupakan objek pikiran. Objek dasar itu meliputi (1)
fakta, (2) konsep, (3) operasi dan (4) prinsip.
4. Materi Aljabar
1. Pengertian Variabel, Suku, Faktor,
Koefisien, Konstanta, Dan Suku Jenis.
Banyak
kelereng ihsan 3 lebihnya dari kelereng Rio. Jika banyak kelereng Rio
dinyatakan dengan x maka banyak kelereng Ihsan dinyatakan dengan x + 3 . Jika banyak kelereng Rio sebanyak
5 butir maka kelereng Ihsan sebanyak 5 + 3 = 8 butir. Jika kelereng Ihsan
dinyatakan dengan y, bagaimana cara menentukan banyak kelereng Rio?
Perhatikan
bentuk x + 3 dengan x merupakan
pengganti pada bilangan bulat! jika
x diganti dengan -2, diperoleh x + 3 = - 2 + 3. Jika x diganti
dengan 0, diperoleh x + 3 = 0 + 3. Jika x diganti
dengan 100, diperoleh x + 3 = 100 + 3. Simbol atau notasi
pada x pada contoh diatas disebut variabel.
Bentuk-bentuk
seperti 2p2, x2 - x + 4, 2ax - 1, dan (x + 2) (x - 5) disebut bentuk-bentuk aljabar.
Bentuk-bentuk
aljabar, seperti 2p2 artinya 2 × p × p. Jika 2p2 adalah bentuk aljabar suku tunggal.
Faktor-faktor dari 2p2 adalah 2, p, p2 dan 2p.
Faktor yang berupa konstanta disebut koefisien.
Bentuk x2 – x - 4 disebut bentuk aljabar suku tiga dengan x2, -x, dan -4 sebagai suku-sukunya, koefisien dari x2
adalah 1 dan koefisien dari x adalah -1.
Pada bentuk 2ax - 1 dan x2 – x + 4, suku-suku 2ax dan –x
adalah suku-suku dengan variabel yang sama, yaitu x. Suku-suku seperti ini
disebut suku-suku yang sejenis, sedangkan 2ax dan x2 adalah
suku-suku dengan variabel yang berbeda dan suku-suku seperti ini disebut
suku-suku tidak sejenis. Coba kamu sebutkan pasangan suku-suku tidak sejenis
lainnya!.
2. Operasi Hitung Pada Bentuk Aljabar
a. Menjumlahkan dan Mengurangkan Dua Bentuk
Aljabar
Dalam
tas Ihsan terdapat 10 pensil dan 7 pencil. Selanjutnya kedalam tas itu
dimasukan 2 buku dan dari tas itu diambil 3 pensil. Dalam tas ihsan tentu
sekarang ada (10 + 2) buku dan (7 - 3) pensil atau 12 buku
dan 4 pensil.
Jika dalam tas
Ihsan banyak buku dinyatakan dengan x dan banyak pensil dinyatakan dengan y
maka situasi tas Ihsan semula adalah 10x + 7y kemudian terjadi 2x - 3y sehingga
situasi tas Ihsan menjaadi(10 + 7y) + (2x - 3y) atau (10 + 2)x + (7- 3)y atau
12x + 4y.
Dari situasi di atas
dapat dimengerti bahwa penjumlahan dan pengurangan dua bentuk aljabar hanya
dapat dikerjakan pada suku-suku sejenis dengan menjumlahkan atau mengurangkan
koefisien pada suku-suku sejenis.
Contoh:
Tentukan hasil penjumlahan
dan pengurangan dari -2x2 + 5x2
Penyelesaian:
-2x2 + 5x2
= (-2 + 5) x2
=3x2
b. Perkalian Suatu Konstanta Dengan Bentuk
Aljabar
Sebuah
perusahaan akan memberi paket lebaran
pada setiap karyawan yang terdiri atas 1 kaleng biskuit, 2 botol sirop, dan
10bungkus mi instan. Jika perusahaan itu mempunyai 100 karyawan maka perusahaan
itu harus menyediakan 100 paket lebaran atau (100 × 1) kaleng biskuit, (100 ×
2) botol sirop, dan (100 × 10) mi instan. Jika x menyatakan banyak kaleng
biskuit, y menyatakan banyak kaleng biskuit, dan z menyatakan banyaknya mi
instan maka situasi ini dapat ditulis 100x + 100 × 2y + 100 × 10z atau 100 × (x
+ 2y + 10z). Sifat apa yang berlaku terkait situasi ini?
Pada himpunan bilangan bulat berlaku sifat distributif
perkalian terhadap penjumlahan, yaitu a × (b + c) = (a × b) + (a × c) dan sifat
distributuf perkalian terhadap pengurangan, yaitu a × (b - c) = (a × b) – (a × c). Sifat ini
akan dipakai untuk menyelesaikan perkalian suatu konstanta dengan bentuk
aljabar suku dua.
Contoh
:
Tulislah perkalian- perkalian dari 5(2p2q –
3pq2) sebagai jumlah atau selisih dengan menggunakan sifat distributif!
Jawab
:
5(2p2q
– 3pq2) = 10p2q – 15pq2
c. Perkalian dan Pembagian Dua Bentuk Aljabar
Untuk melakukan operasi perkalian dan pembagian dua
bentuk aljabar, kita dapat memanfaatkan sifat distributif perkalian terhadap
penjumlahan sebagaimana perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar. Coba
kalian sebutkan sifat-sifat tersebut! Selain itu, kalian pasti masih ingat
bahwa a : b = c sama artinya a = b × c.
Contoh
:
Tulislah perkalian dari 4y(2x + 3y) dalam bentuk jumlah
atau selisih!
Jawab :
4y(2x
+ 3y) = (4y × 2x) + (4y × 3y)
= 8xy + 12y2
d. Pangkat dan Bentuk Aljabar
Pada pelajaran sebelumnya telah dibahas bahwa,
Contoh
:
Carilah
hasil perpangkatan berikut ini !
a.
(3x)2
b.
(2xy2z3)3
Jawab :
a.
(3x)2 = 3x × 3x = 9x2
b.
(2xy2z3)3 = 2xy2z3 ×
2xy2z3 × 2xy2z3 = 8x3y6z9
B. Pecahan Bentuk Aljabar
Kita telah mengetahui bahwa bilangan seperti
disebut bilangan
pecahan. Masih ingatkah kalian, apakah pengertian bilangan pecahan?
Bagaimana dengan bentuk- bentuk seperti
? Bentuk-bentuk seperti itu disebut pecahan bentuk aljabar. Dapatkah kalian
menyatakan apakah pecahan bentuk aljabar itu?
Berikut
ini akan dibahas pecahan bentuk aljabar dengan diawali pengertian KPK dan FPB
bentuk aljabar.
1. KPK dan FPB dari Bentuk Aljabar SukuTunggal
Kalian tentu masih ingat bahwa salah satu cara mencari
KPK dan FPB dari dua bilangan asli adalah dengan menyatakan bilangan-bilangan
tersebut sebagai perkalian faktor-faktor primanya.
Contoh
:
Tentukan
KPK dan FPB dari 12dan 40 !
Jawab
:
12
= 2 × 2 × 3 = 22 × 3
40
= 2 × 2 × 2 × 5 = 23 × 5
KPK
dari 12 dan 40 adalah 23 × 3 × 5 = 120.
FPB
dari 12 dan 40 adalah 22 = 4.
Untuk menentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar suku
tunggal, hampir sama dengan cara mencari KPK dan FPB dari bilangan cacah.
2. Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar
Perhatikan pecahan bentuk aljabar berikut ini :
Suatu pecahan bentuk aljabar dikatakan paling sederhana
jika bentuk-bentuk aljabar pada pembilang dan penyebutnya tidak meiliki faktor
persekutuan kecuali 1.
Pada pecahan bentuk aljabar senilai di atas,
merupakan pecahan bentuk aljabar paling
sederhana karena tidak ada faktor persekutuan antara pembilang dan penyebut
kecuali 1.
Contoh
:
Sederhanakan
pecahan bentuk aljabar dari
Jawab
:
FPB
dari x10 dan x12 adalah x10 sehingga
Jadi,
bentuk sederhana dari
3. Operasi Hitung Pecahan Bentuk Aljabar Dengan Penyebut
Suku Tunggal
a. Penjumlahan dan Pengurangan
Kamu pasti masih ingat bahwa pada himpunan bilangan
pecahan, hasil operasi penjumlahan atau pengurangan dapat diperoleh dengan cara
menyamakan penyebutnya, kemudian menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya.
Contoh
:
Sederhanakan
bentuk berikut !
1.
Jawab :
b. Perkalian dan Pembagian
Hasil perkalian dua pecahan dapat diperoleh dengan cara
mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut. Hal itu
dapat dirumuskan sebagai berikut :
|
|
Dengan cara yang sama, dapat ditentukan hasil perkalian
pecahan-pecahan bentuk aljabar.
Contoh
:
Tentukan
hasil perkalian berikut :
Jawab
:
Selanjutnya, untuk pembagian dua pecahan, berlaku bahwa
membagi dengan suatu pecahan sama dengan mengalikan dengan kebalikan pembagi.
|
|
Contoh :
Tentukan
hasil pembagian
Jawab
:
c. Pemangkatan
Untuk menentukan hasil pemangkatan pecahan aljabar, ingat
kembaliarti pemangkatan suatu bilangan dan sifat perkalian pecahan berikut.
C. Operasi Perkalian Bentuk Aljabar
1. Menyubstitusikan Bilangan pada Variabel Bentuk Aljabar
Suatu bentuk aljabar dapat ditentukan nilainya jika
variabel-variabel pada bentuk aljabar tersebut disubstitusikan atau diganti
dengan sembarang bilangan.
Contoh
:
Jika
a = -2, b = 4, dan c = -1, tentukan nilai dari -3a2 + 2ab – 4c!
Jawab
:
Untuk
a = -2, b = 4, dan c = -1 maka
-3a2
+ 2ab – 4c = -3(-2)2 + 2 (-2) (4) – 4 (-1)
= -12 – 16 + 4
= -24
2. Perkalian Bentuk p(a + b + c) dan p(a + b –c)
Kalian tentu masih ingat bahwa p(x + y) = px +py, p(x –
y) = px – py, dan p(a + x) = pa + px diganti dengan (b + c) atau (b - c)?
Agar
lebih jelas, perhatikan uraian berikut ini!
Jika
x diganti dengan (b + c) maka
|
P(a + b + c) =
pa + pb + pc
|
= pa + pb + pc
Jika
x ddiganti dengan (b – c) maka
p(a + b – c) =
pa + p(b – c)
|
P(a +b – c) = pa + pb - pc
|
Menyatakan bentuk perkalian menjadi bentuk penjumlahan
disebut menjabarkan atau menguraikan.
3. Perkalian Bentuk (a – b)(p + q)
Kita telah mengetahui bahaw x(p + q) = xp + xq. Jika pada
persamaan itu nilai x diganti dengan (a – b) maka diperoleh :
(a
–b)(p + q) = (a – b)p + (a – b)q
|
(a – b)(p + q) = ap – bp + aq - bq
|
4. Perkalian Bentuk (a + b)(a – b)
Pada operasi perkalian berlaku persamaan (a + b)x = ax +
bx. Jika nilai x pada persamaan tersebut diganti dengan (a – b) maka diperoleh
(a
+ b)(a – b) = a(a – b) + b(a – b)
= a2 – ab + ba – b2
= a2 – ab + ab – b2
|
(a + b)(a – b) =
a2 –b2
|
5. Bentuk (a + b)2
Perhatikan bahwa bentuk (a + b)2 merupakan
perkalian (a + b) dengan (a + b) sehingga
(a
+ b)2 = (a + b) (a + b)
= a2 + ba + ab + b2
= a2 + ab + ab + b2
= a2 + 2ab + b2
|
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
|
6. Bentuk (a - b)2
Perhatikan bahwa bentuk (a - b)2 merupakan
perkalian (a – b) dengan (a – b) sehingga
(a
- b)2 = (a - b) (a - b)
= a2 - ba - ab + b2
= a2 - ab - ab + b2
= a2 - 2ab + b2
|
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
|
[5] Masykur Ag, Moch, dan
Abdul Halim Fathani.Mathematical
Intelligence:Cara Cerdas Melatih Otak dan Menanggulangi Kesulitan Belajar.(Jogjakarta:Ar-Ruzz
Media.2008) h. 44
No comments:
Post a Comment